Convergence of a non-monotone scheme for Hamilton-Jacobi-Bellman equations with discontinuous data

We prove the convergence of a non-monotonous scheme for a one-dimensional first order Hamilton-Jacobi-Bellman equation of the form vt+maxα(f(x, α)vx) = 0, v(0, x) = v0(x). The scheme is related to the HJB-UltraBee scheme suggested in [7]. We show for general discontinuous initial data a first-order convergence of the scheme, in L-norm, towards the viscosity solution. We also illustrate the non-diffusive behavior of the scheme on several numerical examples. Key-words: HJB equation, Lerror estimate, antidiffusive scheme, non-monotone scheme, discontinuous initial data ∗ Lab. Jacques-Louis Lions, Université Paris 6 & 7, CP 7012, 175 rue du Chevaleret, 75013 Paris, [email protected] † UMA ENSTA, 32 Bd Victor, 75015 Paris. Also at projet Commands, CMAP INRIA Futurs, Ecole Polytechnique, 91128 Palaiseau, [email protected] ‡ UMA ENSTA, 32 Bd Victor, 75015 Paris. Also at projet Commands, CMAP INRIA Futurs, Ecole Polytechnique, 91128 Palaiseau, [email protected] Convergence d’un schéma non monotone pour les équations HJB avec donnée initiale discontinue Résumé : On étudie un schéma non monotone pour l’équation Hamilton Jacobi Bellman du premier ordre, en dimension 1. Le schéma qu’on considère est lié au schéma anti-diffusif, appellé UltraBee, proposé dans [7]. Dans ce papier, on prouve la convergence, en norme L, à l’ordre 1, pour une condition initiale discontinue. Le caractère anti-diffusif du schéma est illustré par quelques exemples numériques. Mots-clés : équation HJB, schéma non monotone, estimation d’erreur en norme L, schéma anti-diffusif, condition initiale discontinue Convergence of a non monotone scheme for HJB equations 3